NOTA TEORICA

La misura di una superficie rispetto a una fissata unità di misura è detta area. Quindi l’area è un numero. Ad esempio, fissato come unità di misura il metro quadro (m²), dire che un poligono P ha area 6 significa che un metro quadrato è contenuto 6 volte in P. In altre parole, è possibile prendere 6 quadrati di lato 1 m, ritagliarli opportunamente, e disporre i pezzi ottenuti in modo da ottenere il poligono P.
Nell'esempio in figura, il poligono sulla destra è di 6 m², perché sono stati usati 6 quadrati di lato un metro per comporlo.

Sottolineiamo che, specialmente all’inizio, se si fanno i disegni su carta a quadretti, conviene assumere come unità di misura il “quadratino” del foglio.

Area e perimetro sono stati oggetti di studio presso tutte le culture antiche. Al riguardo, citiamo il papiro matematico di Rhind (circa 1550 a.C.), di cui è mostrato un estratto in figura.

Il papiro è manuale egizio di calcolo che contiene problemi relativi a volumi e aree. Interessante è anche l'opera di Balbo, un agronomo romano, Expositio et ratio omnium, in cui vengono date indicazioni sulle unità di misura per misurare i campi. Nei libro cinese nove capitoli dell'arte matematica (circa 100 a.C.) si discutono diffusamente aree e perimetri di vari poligoni e del cerchio.

Quando si studia l'area in classe, è importante non soffermarsi troppo su formule da imparare a memoria, ma lasciare piuttosto che queste emergano con la pratica. Tuttavia, dopo che i vari modi di calcolare le area in maniera rapida sono stati trovati e compresi dalla classe, scritture del tipo A = b × h sono utili come prime esperienze di scritture matematiche che coinvolgono anche lettere.

La prima idea che si cercherà di veicolare è che per calcolare l’area di un poligono si possono contare direttamente i quadratini. In seguito, si realizzerà che esistono metodi ben più rapidi per trovare l'area: anzitutto, per trovare l'area di un rettangolo basta eseguire il prodotto delle lunghezze di base e altezza (in particolare, l’area di un quadrato con il lato di lunghezza a è uguale ad a²). A questo punto, per trovare le aree degli altri poligoni più noti, ci si basa sull'area del rettangolo introducendo il concetto di poligoni equiscomponibili, che approfondiremo nella prossima sezione. L'idea di base è che se un poligono P è somma di due poligoni Q e R, allora l'area di P è la somma delle aree di Q ed R. Quindi, in generale, per calcolare l'area di un poligono si cerca di ricondurlo a uno o più rettangoli.

POLIGONI EQUISCOMPONIBILI

Due poligoni P e Q si dicono equiscomponibili (oppure equicomposti) quando è possibile ritagliare P in vari pezzi e, usando tutte le parti ottenute, ricomporre Q. In altre parole, P e Q si possono presentare come somma di poligoni uguali. Ad esempio, il rettangolo, il quadrato e il triangolo della figura seguente sono equiscomponibili, perché tutti e tre sono somma di quattro poligoni uguali (due triangoli e due trapezi).

Ovviamente, se due poligoni sono equiscomponibili allora hanno la stessa area. Il viceversa non è affatto ovvio: se due poligoni hanno stessa area allora è sempre possibile ritagliare uno dei due in alcuni pezzi per ricomporre l'altro? La riposta è affermativa, come venne dimostrato all'inizio del 1800 indipendentemente da due matematici: l'ungherese F. Bolyai e il tedesco P. Gerwien, ed è per questo che si parla di Teorema di Bolyai–Gerwien.
David Hilbert, quasi un secolo dopo, propose ventitré problemi che dovevano essere studiati e approfonditi: uno di questi proponeva di indagare se il teorema di Bolyai-Gerwien fosse valido anche in tre dimensioni (se due poliedri hanno stesso volume, allora sono equiscomponibili). In tre dimensioni la risposta è però negativa e fu dimostrato dal matematico tedesco M. Dehn: in altre parole, esistono due poliedri con stesso volume che non sono equiscomponibili. Difatti, in tre dimensioni succedono cose molto strane, come il paradosso di Banach-Tarski... ma questa è un'altra storia!

ARPE GAME

ARPE GAME è un gioco online, disponibile su www.oiler.education/arpe-game, utile per introdurre il concetto di area e lavorare sulla stima. Nella pagina iniziale del gioco, si seleziona AREA e LIVELLO 1 (nel primo livello non compaiono numeri decimali).

In ogni giocata, compare un poligono inserito in una griglia quadrettata. Lo scopo del gioco è cercare di indovinare l'area del poligono mostrato (ossia quanti quadratini della griglia siano contenuti nel poligono): non è importante dare una misura esatta ma piuttosto imparare a fare stime più o meno accettabili. Nella figura seguente compare un quadrilatero: il giocatore deve provare a indovinare l'area del poligono, ossia quanti quadratini circa siano contenuti nel poligono.

Per fare una stima accurata, una strategia che pian piano verrà sviluppata è quella della scomposizione: si cerca di confrontare le varie parti del poligono con i quadratini della griglia. L'unità di misura, ossia i quadratini della griglia, cambia di volta in volta in modo che gli studenti si abituino al fatto che l'area dipende dall'unità di misura.

Dopo aver inserito nel box la propria stima dell'area, compare l'area reale e l'errore fatto dal giocatore. Più precisamente, l'area reale viene data in termini di intervallo, perché è bene che la classe si abitui al fatto che nelle misure esiste sempre un margine di errore e quindi più che di valori esatti si parla di intervalli di confidenza. Nella figura seguente è mostrato un tentativo di stima dell'area del quadrilatero precedente. Poiché l'utente ha inserito 2, è l'area era effettivamente fra 2 e 3, l'utente non ha commesso errori.

Anche se nelle prime volte in cui si gioca si possono commettere errori vistosi, gli studenti acquisiranno via via familiarità con il gioco e occhio nell'individuare l'area. Se in classe sono già stati affrontati i numeri decimali, si può giocare anche al livello 2, dove l'intervallo del risultato - e di conseguenza la stima dell'utente - è data con precisione maggiore da numeri con una cifra decimale. In figura è mostrato un esempio di giocata nel livello 2: l'utente inserisce la stima 5,6 commettendo un errore di 0,8 poiché l'area reale è compresa fra 6,4 e 6,5.

Aggiungiamo che non è difficile determinare approssimazioni per eccesso e per difetto dell'area di un poligono. Facendo riferimento alla figura sopra, il poligono contiene tre quadratini “pieni”: l'area sarà sicuramente al minimo 3. Per ottenere un'approssimazione per eccesso, si considerano anche i quadratini coperti solo in parte: l'area sarà sicuramente al massimo 12. La media aritmetica fra questi due valori fornisce - solitamente ma non sempre - una buona stima dell'area.

COSTRUIRE UN METRO QUADRO

Costruire un metro quadrato (usualmente abbreviato in metro quadro)di carta è un'attività importante. Difatti, la costruzione di un metro quadrato - ossia un quadrato di lato 1 m - rende tangibile una delle unità di misura più diffuse e fornisce un riferimento concreto per misurare oggetti e ambienti. Prima di lavorare sul metro quadro, suggeriamo tuttavia di cominciare con il decimetro quadrato, ossia le centesima parte di un metro quadro.

Per farlo, ogni studente prende un foglio di carta A4 bianco e vi costruisce un quadrato di lato 10 cm. Quindi lo ritaglia e poi lo colora tutto di uno stesso colore. A questo punto si chiede di stimare quanti quadratini ci siano dentro il banco e in tanti altri oggetti presenti nella classe o nella scuola: in altre parole si chiede di misurare l'area di alcuni superfici in decimetri quadrati.

È importante fare un parallelismo esplicito con ARPE GAME: nel gioco c'è una griglia, mentre in questa attività si ha solo un quadratino e bisogna immaginarsi autonomamente la sua riproduzione. 

Una volta stimata l'area di alcune superfici, si chiede di stimare quanti decimetri quadrati misuri il pavimento dell'aula: dopo che gli studenti hanno fatto le proprie stime, si nota che i numeri in gioco sono troppo grandi e che è dunque importante avere “un quadrato più grande” come unità di misura: il metro quadro! Per costruirlo gli studenti devono collaborare unendo i loro decimetri quadri e costruendone degli altri fino ad averne 100, che si metteranno poi tutti vinci incollati su un cartellone più grande, formando così il metro quadro.

Si può quindi stimare la misura della superfici considerate in precedenza con il decimetro quadrato (che quindi probabilmente risulteranno in frazioni del metro quadro) e poi passare a superfici sempre più grandi: quanti metri quadri misura l'aula? Quanti la palestra? Quanti la nostra città?
Si pensi che Roma è circa un miliardo di metri quadri! Per misurare le città o le grandi aree si usano infatti gli ettari (10000 m²) oppure i km².

Concludiamo questa sezione con una curiosità relativa al metro quadro. I fogli della serie A (di cui fa parte il classico foglio A4) sono rettangoli sempre delle stesse proporzioni. Questi rettangoli godono inoltre di una particolare proprietà (utile per riproduzioni in scala): dimezzando un A4 (lungo il lato maggiore) si ottiene un A5, raddoppiando un A4 si ottiene un A3. In generale, dimezzando un foglio della serie A si ottiene il successivo. Il foglio base della serie è l'A0, che è un rettangolo di area esattamente un metro quadro. Un foglio A4 è dunque ottenuto piegando quattro volte un foglio A0 (A0→A1→A2→A3→A4). Quindi affiancando 16 fogli A4 si ottiene sempre un poligono di area 1 m² (ogni A4 ha dunque area un sedicesimo di metro quadro).

CALCOLARE L'AREA PER CONTEGGIO DIRETTO

Prima di passare al calcolo dell'area di alcuni poligoni noti e alla scoperta delle relative formule, consigliamo di fare qualche esperienza di conteggio diretto di quadratini. Si consegna alla classe la scheda di esercizi conteggio_area.pdf presente nella sezione ALLEGATI. Nella scheda viene chiesto di contare il numero di quadratini di alcuni poligoni per trovarne l'area. In particolare, nella prima pagina si trovano solo rettangoli, come quello mostrato in figura.

In questo caso, il numero di quadratini è facile da contare, soprattutto se si ricorre al prodotto. Alla seconda pagina si trovano poligoni meno usuali, come quello riportato nella seguente figura.

Anche in questo caso, il conteggio non pone particolare sfide. Nella terza e quarta pagina compaiono invece poligoni che non sono formati da quadratini interi, come quello riportato nella seguente figura.

Per questi poligoni serve infatti riconoscere che i quadratini non interi sono ciascuno la metà di un quadratino: nell'esempio della figura precedente, l'area del poligono (un ottagono) è pari a 3 +  2 = 5.

Nella quinta pagina è presenta una sfida più complessa, perché compaiono frazioni diverse dei quadratini.

Per questa ultima tipologia di poligoni è importante discutere con la classe un'idea che tornerà utile in seguito: si cerca di “ritagliare” il poligono e ricomporlo per ricondursi a un poligono dove è più facile contare i quadratini. Nell'esempio del triangolo alla figura precedente, tagliando a metà altezza e “riattaccando in basso” il pezzo ruotato di 180° si ottiene un quadrato di lato 2.

AREE DI POLIGONI NOTI

Per imparare a calcolare l'area dei poligoni più noti non è sufficiente imparare le regole a memoria, ma è fondamentale capire le motivazioni dietro alle formule. I calcoli delle aree dei poligoni si basano su due aspetti fondamentali: l'area del rettangolo, che è relativamente semplice da comprendere, e il fatto che due poligoni che si scompongono in parti uguali hanno la stessa area, il che - in termini concreti - vuol dire che se si taglia un pezzo da un poligono e lo si riattacca al poligono da una parte si un ottiene un nuovo poligono equivalente a quello di partenza.

L'AREA DEL RETTANGOLO

Il primo poligono di cui imparare a calcolare l'area è il rettangolo. Il discorso è strettamente legato alla visualizzazione grafica delle tabelline e, qualora non siano già state svolte in classe, consigliamo come prerequisito le attività Il gioco delle tessere e Il decanomio. Il fatto che l'area di un rettangolo sia il prodotto delle lunghezze di base e altezza si può verificare contando i quadratini contenuti in un rettangolo disegnato su un foglio.

Nella pratica scolastica, si dice usualmente che “l'area di un rettangolo è il prodotto fra base e altezza”. Il prodotto si fa però fra numeri e non fra segmenti. Il problema può essere risolto in due modi diversi: o si concorda con la classe che le parole “base” e “altezza” indicano non i segmenti ma la loro lunghezza (rispetto a un'opportuna unità di misura) o si dice per esteso che l'area del rettangolo è il prodotto fra lunghezze di base e altezza. Senza prendere una posizione teorica netta, riteniamo che almeno alla scuola primaria sia accettabile parlare di prodotto fra base e altezza anche se questi termini indicano segmenti.

Per ripassare quanto appreso, si consegnano alla classe gli esercizi proposti nel file area_rettangoli_1.pdf disponibile nella sezione ALLEGATI. Sottolineiamo infine che essendo il quadrato un particolare rettangolo, l'area del quadrato si trova facendo base per altezza; essendo tuttavia queste lunghezze uguali, è più comodo parlare di “lato per lato”, oppure di “lato al quadrato”.

Nel file area_rettangoli_2.pdf  si chiede di trovare l'area di alcuni poligoni basandosi sulle lunghezze dei lati che vengono fornite. Anche se per risolvere gli esercizi è sufficiente sapere come calcolare l'area del rettangolo, alcuni quesiti sono complessi e richiedono un ragionamento approfondito.

L'AREA DEL PARALLELOGRAMMA

Il parallelogramma è il poligono la cui area è più facile da ricondurre a un rettangolo. Infatti, come mostrato in figura, basta tracciare un'altezza in modo da separare un triangolo rettangolo. Spostando questo triangolo dall'altra parte, si ottiene un rettangolo.

Come suggerito dalla seguente figura, il rettangolo ottenuto avrà stessa base e stessa altezza del parallelogramma di partenza.

L'area del parallelogramma è dunque il prodotto di lunghezze di base e altezza. La difficoltà rispetto al rettangolo è che l'altezza non è rappresentata da alcun lato del parallelogramma e quindi potrà accadere che gli studenti si confondano fra altezza e lati. Sottolineiamo inoltre che la costruzione da noi proposta è sempre possibile con ogni parallelogramma, a patto di scegliere opportunamente la base.

L'area del parallelogramma rappresenta una prima sfida concettuale ed è bene soffermarsi a ragionare soprattutto a livello grafico. Senza fornire immediatamente alla classe la scomposizione da noi suggerita, è bene che gli studenti provino a sviluppare strategie per contare il numero di quadratini. Una scheda di lavoro in questa direzione è disponibile nel file area_parallelogrammi.pdf presente nella sezione ALLEGATI.

L'AREA DEL TRIANGOLO

La successiva area da proporre è l'area del triangolo.

A livello grafico esistono almeno due modi convincenti per trovare la nota formula. Il primo modo, presentato nella figura seguente, è quello di duplicare il triangolo e specchiarlo, in modo da ottenere un parallelogramma (la costruzione è sempre possibile).

Dalla configurazione si ottiene che l'area del triangolo è metà dell'area del parallelogramma così ottenuto. Poiché il parallelogramma ha stessa base e stessa altezza del triangolo di partenza, segue che l'area del triangolo è la metà del prodotto fra lunghezze di base e altezza.

Un'ulteriore strategia per trovare l'area del triangolo, meno elegante ma forse più semplice, è mostrata nella figura seguente.

Costruendo un rettangolo con stessa base e stessa altezza del triangolo e tracciando l'altezza del triangolo, si riconosce facilmente che l'area del triangolo è metà dell'area del rettangolo. Sottolineiamo che seconda costruzione è possibile solo nel caso che gli angoli alla base del triangolo non siano ottusi. In altre parole, la costruzione è sempre possibile a patto però di scegliere opportunamente la base del triangolo qualora questo sia ottusangolo, posizionando l'angolo ottuso in alto.

Come nel caso del parallelogramma, suggeriamo di arrivare a una delle due scomposizioni tramite discussioni collettive, lasciando prima che la classe lavori sulla scheda area_triangoli.pdf presente nella sezione ALLEGATI.

L'AREA DEL ROMBO

La successiva area che consigliamo di trattare è l'area del rombo. Essendo un rombo un particolare parallelogramma, chiaramente il procedimento visto per il parallelogramma si applica anche al rombo. Tuttavia, spesso il rombo viene presentato in modo che una diagonale sia orizzontale e l'altra verticale: in questo modo, risulta meno spontaneo lavorare con base e altezza del parallelogramma, anche perché in molti casi risulterebbero lunghezze irrazionali.

La scomposizione a cui spesso si ricorre è un'altra: si inscrive il rombo in un rettangolo, come mostrato in figura.

Non è difficile convincersi che il rettangolo così costruito ha base e altezza che corrispondo alle diagonali del rombo. Inoltre, come si verifica dalla figura, l'area del rombo è metà dell'area del rettangolo. Ne segue che l'area del rombo si trova facendo il prodotto fra le lunghezze delle diagonali e dividendo per 2.

Una scheda di lavoro sull'area del rombo è disponibile nel file area_rombi.pdf presente nella sezione ALLEGATI.

L'AREA DEL TRAPEZIO

L'area del trapezio è l'ultima area che suggeriamo di proporre alla classe.

Una prima strategia che può venire in mente, soprattutto quando si è reduci dall'esperienza con il rombo, è quella di iscrivere il trapezio in un rettangolo con base uguale alla base maggiore del trapezio e di stessa con la stessa altezza del trapezio.

Questo modo di procedere non è sbagliato, e qualora uno studente dovesse proporlo consigliamo di seguire il suo ragionamento. Una volta costruito il rettangolo, si individuano all'interno del trapezio un rettangolo e due triangoli tracciando opportunamente due altezze del trapezio, come mostrato in figura.

L'area del trapezio è data dalla somma dell'area del rettangolo (ottenuta dal prodotto della base minore del trapezio per l'altezza) con le area dei due triangoli. Con questa strategia si può facilmente calcolare l'area di trapezi disegnati su un foglio a quadretti. D'altra parte, giungere alla consueta formula generica dell'area del trapezio per questa strada richiede abilità di manipolazione algebrica che esulano dalla scuola primaria.

Quindi se da un lato il procedimento appena mostrato aiuta a calcolare l'area in casi particolari, per arrivare a una formula generale si segue usualmente un'altra strategia. Proponiamo ora dunque la classica scomposizione del trapezio, che per la sua eleganza merita di essere conosciuta dagli studenti. Suggeriamo di eseguire la costruzione con un trapezio di carta, effettuando pieghe e tagli come suggerito. Anzitutto si individua il punto medio di uno dei due lati obliqui del trapezio e lo so congiunge con un estremo dell'altro lato del trapezio, come mostrato in figura.

A questo punto, si rimuove il triangolo così ottenuto e lo si ruota per “riattaccarlo” sotto, come illustrato in figura.

Si ottiene così un nuovo poligono: un semplice triangolo!

Non è ora difficile calcolare l'area del triangolo: il triangolo ha come altezza la stessa altezza del trapezio, e come base la somma di base maggiore e base minore del trapezio. Ne segue che l'area del triangolo, e dunque del trapezio, è (B_m +B_M) × h / 2.

Una scheda di lavoro sull'area del trapezio è disponibile nel file area_trapezi.pdf presente nella sezione ALLEGATI.

RAPPORTO FRA AREA E PERIMETRO

Il confronto fra perimetro e area è un problema concreto, fin dall’antichità. Come può un esercito capire la grandezza di una città che sta assediando guardando solo alle mura? Come può una flotta di marinai capire le dimensioni di un'isola semplicemente circumnavigandola?

La prima risposta intuitiva che viene a queste domande è che quanto maggiore è la lunghezza del contorno - cioè il perimetro - tanto maggiore sarà l'area. Questa risposta presenta un fondo di verità ma, in generale, è lontano non è assolutamente corretta.

Per capire meglio la situazione, analizziamo un esempio. In figura sono riportati due rettangoli: è facile verificare che le aree dei due rettangoli sono uguali, mentre i perimetro non lo sono. Ogni rettangolo ha infatti area 20, mentre il perimetro del rettangolo sulla sinistra è 18 e di quello sulla destra è 24.

Possiamo far crescere il perimetro ancora di più mantenedo l'area inalterata: nella figura seguente, il rettnagolo in basso ha area sempre 24 ma perimetro 50.

In realtà, riusciamo a dire qualcosa di più: ferma restando l'area, si può far crescere il perimetro a piacere: se si continua a dimezzare l'altezza e raddoppiare la base dei rettangoli le aree risulteranno tutte uguali ma i perimetri cresceranno smisuratamente. Più in generale, sapere l'area di un poligono non fornisce alcuna indicazione precisa sul suo perimetro: esistono tanti poligoni con area “piccola” e perimetro “grande”.

Tuttavia, il quesito iniziale relativo alla città e all'isola proponeva il problema inverso: ricavare dal perimetro informazioni sull'area. Fissato il perimetro l'area non può crescere a piacere: è noto che, fissata la lunghezza del contorno, l’area massima si ha nel caso del cerchio. Per un problema su questo tema, consigliamo il problema CLASSIC 7. Per i più curiosi, riassumiamo la situazione con la seguente frase: nota l'area di un poligono è possibile determinare un limite inferiore per il suo perimetro ma non superiore; viceversa, fissato il perimetro di un poligono, possiamo determinare un limite superiore per la sua area ma non inferiore perché - qualunque sia il perimetro - l'area può avvicinarsi a piacere a 0.

Indagare parzialmente questi temi con la classe può rivelarsi interessante e stimolante. Nella scheda di lavoro area_perimetro_1.pdf disponibile nella sezione ALLEGATI vengono proposti due diversi esercizi. Nel primo esercizio viene chiesto di disegnare rettangoli che abbiano la stessa area di un rettangolo dato (sottolineiamo che i rettangoli devono avere tutti i vertici su punti della griglia; se tuttavia uno studente propone un rettangolo con vertici “non interi” vale la pena esaminarlo insieme). Avendo il rettangolo dato area 6 × 4 = 24, qualsiasi coppia di numeri interi con prodotto 24 darà luogo a un rettangolo da disegnare. Viene quindi chiesto di confrontare i perimetri dei vari rettangoli così ottenuti, come proposto nella tabella seguente.

I rettangoli con perimetro maggiore sono dunque quelli con dimensioni 24 e 1, mentre quelli con perimetro minore sono quelli con dimensioni 6 e 4.

Nel secondo esercizio della scheda area_perimetro_1.pdf viene fornito lo stesso rettangolo di partenza, ma questa volta bisogna costruire altri rettangoli che abbiano stesso perimetro. Poiché il rettangolo di partenza ha perimetro 6 + 4 + 6 + 4 = 20, qualsiasi coppia di numeri che dà somma 10 fornisce le misure dei lati del rettangolo. Viene quindi chiesto di confrontare le aree dei rettangoli così ottenuti, come proposto nella tabella seguente.

Il rettangolo con area maggiore è dunque il quadrato di lato 5. Notiamo che avremmo potuto considerare come caso limite anche il rettangolo degenere di lati 10 e 0, ottenendo area 0.

Nella scheda area_perimetro_2.pdf si trova invece un problema più complesso. Bisogna infatti costruire un poligono, sempre con i vertici nei nodi della quadrettatura e i lati orizzontali e verticali, con area e perimetro fissati. In questo caso la classe non ha formule da applicare, ed è obbligata a riflettere sulla variazione del perimetro rispetto all'area e viceversa. Il poligono disegnato può anche avere una forma “strana”. La soluzione al primo dei tre esercizi è un quadrato di lato 3, e la risposta è unica.

Il secondo esercizio ha varie soluzioni; una proposta è mostrata nella figura seguente.

Il terzo esercizio non ha invece soluzione. Infatti, un'osservazione importante è che il perimetro di qualsiasi poligono con lati verticali e orizzontali e vertici nei nodi della quadrettatura è sempre un numero pari: questa proprietà è ovvia per i rettangoli perché il perimetro è sempre il doppio della somma di base e altezza, ma vale in realtà in generale. Al riguardo sarà importante sentire le argomentazioni della classe. Per quest’ultima osservazione, si veda l’interessante articolo di Antonio Veredice.

Per concludere la voce, proponiamo il seguente video dove vengono presentate alcune attività di piegatura della carta per approfondire area e perimetro dei quadrilateri.