DURÉE MOYENNE : 2h
LIEU : classe et théâtre, gymnase ou cour
MATÉRIEL : symbole ∧ à colorier (téléchargeable dans la section PIÈCES-JOINTES), cerceaux de gymnastique ou hula hoop, cordes, masques de fripon et chevalier pour chaque élève (téléchargeables dans la section PIÈCES-JOINTES), symboles à coller sur le t-shirt des enfants (téléchargeables dans la section PIÈCES-JOINTES).
WARMAPP :  si possible, il est conseillé – avant de déroulement de l’activité – de faire jouer la classe au mini-jeu EAU sur www.oiler.education/warmapp

La conjonction et, indiquée par le symbole ∧ ou bien l’anglais AND, est un connecteur. En mathématiques, un connecteur relie deux affirmations, par exemple celles basées sur des prédicats ou leurs négations. On obtient ainsi une nouvelle affirmation.
Par exemple, en reliant PAIR(10) et IMPAIR(5) on obtient l’affirmation PAIR(10) ∧ IMPAIR(5) qui se lit "le nombre 10 est pair et le nombre 5 est impair".
Les deux affirmations ne doivent pas obligatoirement avoir des significations voisines : PAIR(10) ∧ ARBRE(portable) est une affirmation correctement construite qui se lit "le nombre 10 est pair et le portable est un arbre".

L’essentiel est de comprendre quand une affirmation construite avec une conjonction est vraie et quand elle est fausse. Face à l’affirmation précédente PAIR(10) ∧ ARBRE (portable) la plupart d’entre nous pourrait dire quelque chose comme "la phrase est à moitié vraie et à moitié fausse". Toutefois, dans la logique mathématique il est établi qu’une conjonction n’est vraie que quand les deux prédicats sont vrais. Par conséquent, pour résumer, la conjonction COULEUR(fenêtre) ∧ 2 + 2 = 3 est fausse car les deux prédicats sont faux, COULEUR(fenêtre) ∧ 2 + 2 = 4 est fausse car l’un des deux prédicats est faux tandis que COULEUR(rouge) ∧ 2 + 2 = 4 est vraie car les deux prédicats sont vrais. Le tableau suivant – normalement appelé table de vérité – illustre mieux la situation.

D’autres exemples :

• PAIR(8) ∧ ¬PAIR(9) se traduit par l’affirmation "le nombre 8 est pair e le nombre 9 n’est pas pair" qui est vraie;
• ¬ARBRE(sapin) ∧ ANIMAL(chien) se traduit par l’affirmation "le sapin n’est pas un arbre et le chien est un animal" qui est fausse.

Nous vous conseillons, quand vous affrontez ce thème de ∧ avec la classe, de ne pas le présenter immédiatement comme un symbole traduisant fidèlement la conjonction mais de laisser les analogies se révéler peu à peu. Quand la classe aura développé une certaine perception du symbole, vous pourrez souligner les points communs mais aussi les petites différences avec le "et" utilisé dans le langage courant. Par exemple, on l’utilise souvent dans les listes où on ne relie pas deux affirmations : les villes les plus peuplées d’Italie sont Rome, Napes et Milan ; ou bien on distingue les nombres en tant que pairs et impairs. Enfin, dans le langage courant, on utilise souvent d’autres mots correspondant sur un plan logique au ∧, comme le mais (il fait froid mais il fait beau) et le tandis que (5 est impair tandis que 4 non).

LE CIRCUIT AVEC AND

Il est conseillé de reprendre l’idée des circuits pour une meilleur approche avec le ∧. Le circuit sera parcouru simultanément par plusieurs élèves formant une équipe : si dans le cercle rouge (qui est toujours un seul) c’est le chevalier qui arrive, tous les enfants ayant participé au circuit gagnent.

De plus, on y introduit le nouveau symbole AND : l’élève qui portera ce symbole sera à l’intérieur d’un hula hoop avec deux cordes “en entrée” et une “en sortie”. L’“élève AND” préfère les fripons. S’il voit arriver deux fripons il en fera passer un de son choix, s’il voit arriver un fripon et un chevalier il fera passer le fripon et s’il voit arriver deux chevaliers il devra, malgré lui, en faire passer un.

La stratégie gagnante dans ce cas est de partir à deux chevaliers : si même un seul des deux part en tant que fripon, comme l’exemple représenté dans la figure, c’est un fripon qui arrivera dans le cercle rouge.

On remarque ici l’analogie avec la table de vérité du ∧ : tout comme on gagne au circuit seulement si deux joueurs sont chevaliers, le ∧ sera respecté seulement si les deux prédicats sont vrais.

COLORIER LE SYMBOLE

Avant d’aborder le thème du symbole de manière explicite, il serait judicieux en termes de didactique de distribuer à la classe le symbole à colorier qui se trouve dans la section pièces-jointes (symbol_and.pdf).

INITIER LA CLASSE AU "ET"

Comme en d’autres occasions, nous conseillons d’aborder le connecteur avec prudence. En le faisant, il faut bien faire attention au terme “tous deux” – voire le présenter avant le connecteur en soi. En effet, la phrase construite avec AND n’est vraie que si les deux prédicats sont vrais. Pour faciliter l’apprentissage, on peut distribuer à la classe des exercices comme ceux qui sont suggérés dans le document esercizi_and.pdf ou bien des exercices où il y a des formules à compléter, dites par des fripons ou des chevaliers. Par exemple, si un fripon dit "ANIMAL (cheval) ∧ ANIMAL (x)" cela veut dire que x devra forcément être quelque chose qui n’est pas un animal, tandis que si le fripon dit "ANIMAL (chaise) ∧ ANIMAL (x)" cela veut dire qu’à la place de x on pourra mettre aussi bien un animal que n’importe quelle autre chose - la phrase étant déjà rendue fausse par ANIMAL (chaise). De la même manière, si un chevalier dit "ANIMAL (cheval) ∧ ANIMAL(x)" cela veut dire qu’à la place de x il faudra obligatoirement mettre un animal, tandis qu’un chevalier ne pourra jamais dire "ANIMAL (chaise) ∧ ANIMAL (x)", quoi que soit x.

BUL GAME

Si on en a l’occasion – avec un ordinateur ou une tablette pour chaque élève – nous conseillons de terminer l’activité en jouant à BUL GAME en sélectionnant les catégories VRAI&FAUX, PRÉDICATS, NÉGATION et AND. On peut choisir si intégrer des prédicats de culture générale – par ex. ANIMAL (tigre) – ou des prédicats mathématiques - par ex. 3+2=5. Le niveau correspond à la difficulté des prédicats proposés : nous vous conseillons de proposer le niveau 2 uniquement aux classes de CM1 et CM2.