DURÉE MOYENNE : 1h30
LIEU : classe, gymnase
MATÉRIEL : personnages de fripon et chevalier, prédicats à découper, nombres à découper

BUL GAME

On peut - comme toujours - commencer l’activité avec BUL GAME, en incluant également si on l’estime nécessaire les prédicats avec la négation.

Si on en a l’occasion – avec un ordinateur ou une tablette pour chaque élève – on peut faire faire le jeu à la classe sur www.oiler.education/BUL en sélectionnant les catégories VRAI&FAUX, PRÉDICATS et NÉGATION.

On peut choisir si intégrer des prédicats de culture générale – par ex. ANIMAL (tigre) – ou des prédicats mathématiques - par ex. 3+2=5. Le niveau correspond à la difficulté des prédicats proposés : nous vous conseillons de proposer le niveau 2 uniquement aux classes de CM1 et CM2.

LES VARIABLES

Dans les activités précédentes, il fallait parfois compléter un prédicat de façon opportune – par ex. ARBRE (.......).

Cependant, au cas où l’on voudrait qu’un même objet – comme un nombre – ait deux propriétés (satisfasse donc deux prédicats) il est essentiel de lui donner un nom pour pouvoir en parler. Il s’agit d’un éventuel point de départ didactique du concept de variable. On pourra alors initier les élèves à l’utilisation de symboles comme le x sans parler explicitement des équations et encore moins des quantificateurs.

Une première série de devinettes est relative à des sommes simples : "Je connais un nombre qui s’appelle x de sorte que x + 4 = 5". Ici, il est très important d’écrire et de commenter aussi les réponses incorrectes formulées par les élèves : si à la question "x+4=5" ils répondent, par exemple, 7 on écrira au tableau 7 + 4 = 5 et ils remarqueront que 11 n’est pas 5. Les élèves, en effet, ont été habitués par le contexte à voir aussi des égalités fausses (par ex. 11 = 7). On peut aussi toujours avec la somme faire des devinettes comme x + x = 8, ou bien x + x + x = 9. Il est très important dans ce cas de souligner que la valeur de x ne peut pas changer (c’est-à-dire que. 1 + 5 + 4 = 9 n’est pas une solution).

On continue ainsi à utiliser les variables dans les prédicats, en faisant remarquer par exemple que PAIR(x) ou bien x > 3 ont plus d’une solution.

On termine la présentation de la variable en utilisant plusieurs prédicats pour décrire un nombre. On peut par exemple écrire les affirmations suivantes au tableau en demandant de trouver la valeur de x :

• x s’écrit avec trois lettres;
• PAIR(x) ;
• x < 10.

Dans ce cas, il n'y a qu'une seule solution : 6. Nous vous invitons toutefois en cas de réponse incorrecte à souligner les conditions respectées, puis celles qui ne le sont pas : au cas où la réponse suggérée soit dix, on fera remarquer en premier lieu que la première et la deuxième condition sont respectées, pour ensuite signaler que 10 n'est pas inférieur à 10.

LES CONSTANTES QUI REMPLACENT LES VARIABLES

On continue ensuite avec un exercice très important : apprendre à remplacer les variables par des constantes opportunes. On imprime et découpe les prédicats avec les variables sur le modèle de ce que l’on trouve dans le document predicati_con_variabili.pdf ainsi que les nombres prêts à être imprimés et découpés dans le document nombres_objects.pdf

Noter que certains prédicats ne peuvent être satisfaits, c’est-à-dire qu’il n’existe aucun nombre naturel qui les satisfasse (par ex. x + 7 = 3). Ce sera une bonne occasion didactique de s’y pencher et de les analyser, en les appelant "pièges" si on veut. Un piège sympathique à proposer serait ¬ ( x = x ).

Nous vous conseillons de proposer l’activité dans un grand espace, comme un gymnase, pour éparpiller les prédicats et les nombres sur le sol. Les prédicats résolus seront bien rangés dans un espace à part.

Si l’on souhaite proposer des exercices du même genre mais plus difficiles, on peut trouver de la documentation dont s’inspirer sur predicati_con_variabili_2.pdf et sur predicati_3.odt qui est modifiable selon ses exigences.

UNE PREMIÈRE APPROCHE AVEC LES CONNECTEURS

Si on veut, on peut tenter après l’activité une première approche avec les connecteurs que l’on explorera en détail dans les activités suivantes.

Avec les nombres encore sur le sol, en ne faisant plus référence aux prédicats, on commence à demander à la classe de trouver des nombres spécifiques.

On peut commencer par des demandes très simples comme "trouver un nombre pair" ou encore "trouver un nombre plus petit que 10".

Puis on commence par faire des demandes composées, c’est-à-dire qui doivent satisfaire plusieurs requêtes : "trouver un nombre pair et inférieur à 8", "trouver un nombre pair qui s’écrive en cinq lettres", "trouver un nombre impair dont le double est supérieur à 12". On peut également inclure des conditions impossibles à satisfaire, comme "trouver un nombre à la fois pair et impair".

Pour finir, on peut formuler des demandes avec “ou” comme, par exemple : "trouver un nombre pair ou un nombre impair", "trouver un nombre inférieur à 5 ou supérieur à 10", "trouver un nombre qui s’écrive en trois lettres ou en quatre".

QU’EST-CE QU’UNE VARIABLE ?

Quand l’occasion se présente, il est judicieux de parler avec la classe du concept de variable, opposé à celui de constante. Constante et variable sont des termes auxquels on est confronté au cours de l’éducation mathématique dans plusieurs contextes (cf. TALES). Chaque nombre est constant : 1 vaut toujours 1, 2 vaut toujours 2. Cependant, dans certains cas, il est utile de penser en termes de nombres non fixes, donc variables. Il est fondamental de souligner que le nombre x peut prendre n’importe quelle valeur. Souvent, des indications et des conditions sont données afin de limiter le champ de valeurs que x peut avoir. Par exemple, PAIR (x) spécifie que le x dont on parle est pair, mais nous ne savons cependant pas de quel pair on parle, il y a même une infinité de possibilités pour la valeur de x. D’autres conditions sont plus limitantes comme x < 2 qui indique que x doit être 0 ou 1. D’autres conditions encore sont respectées pour une seule valeur de x, comme x + 3 = 5. Enfin, il y a des conditions qui ne peuvent pas être respectées, comme x = x + 1.

SOLUZIONE predicati_con_variabili_2.pdf

1) x = 5
2) x = 2
3) x = 10
4) x = 0
5) x = 0, 1, 2, 3
6) nessuna soluzione
7) x = 7
8) qualsiasi numero naturale
9) x = 0
10) qualsiasi numero naturale diverso da 3
11) qualsiasi numero naturale
12) x = 5